二分图最大匹配——网络流
title: 二分图最大匹配——网络流
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abbrlink: b759e094
date: 2023-09-02 00:00:00
二分图最大匹配可以转换成网络流模型。
将源点连上左边所有点,右边所有点连上汇点,容量皆为1。原来的每条边从左往右连边,容量也皆为1,最大流即最大匹配。
如果使用 Dinic 算法 求该网络的最大流,可在O(sqrt(n) * m)求出。
#define N 1010
#define M 2000010
int n,m,k,S,T;
struct edge{int v,c,ne;}e[M];
int h[N],idx=1; //从2,3开始配对
int d[N],cur[N];
void add(int a,int b,int c){
e[++idx]={b,c,h[a]};
h[a]=idx;
}
bool bfs(){ //对点分层,找增广路
memset(d,0,sizeof d);
queue<int>q;
q.push(S); d[S]=1;
while(q.size()){
int u=q.front(); q.pop();
for(int i=h[u];i;i=e[i].ne){
int v=e[i].v;
if(d[v]==0 && e[i].c){
d[v]=d[u]+1;
q.push(v);
if(v==T)return true;
}
}
}
return false;
}
int dfs(int u, int mf){ //多路增广
if(u==T) return mf;
int sum=0;
for(int i=cur[u];i;i=e[i].ne){
cur[u]=i; //当前弧优化
int v=e[i].v;
if(d[v]==d[u]+1 && e[i].c){
int f=dfs(v,min(mf,e[i].c));
e[i].c-=f;
e[i^1].c+=f; //更新残留网
sum+=f; //累加u的流出流量
mf-=f; //减少u的剩余流量
if(mf==0)break;//余量优化
}
}
if(sum==0) d[u]=0; //残枝优化
return sum;
}
int dinic(){ //累加可行流
int flow=0;
while(bfs()){
memcpy(cur, h, sizeof h);
flow+=dfs(S,1e9);
}
return flow;
}
int main(){
int a,b,c;
scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);//左边n个点,右边m个点,k条边
while(k--){
scanf("%d%d",&a,&b);
add(a,b+n,1);add(b+n,a,0);
}
S=0;T=n+m+1;
for(int i=1;i<=n;i++)
add(S,i,1),add(i,S,0);
for(int i=1;i<=m;i++)
add(i+n,T,1),add(T,i+n,0);
printf("%lld\n",dinic());
return 0;
}
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